lol赛后季竞猜

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lol赛后季竞猜卷 第 一卷 第 二按 《 唐 书 · 选 举 志 》 制 科 之 目 , 明 算 居 一 , 其 定 制 云 : 凡 算 学 , 孙 子 、 五 曹 共 限 一 岁 , 九 章 、 海 岛 共 三 岁 , 张 邱 建 、 夏 侯 阳 各 一 岁 , 周 髀 、 五 经 算 共 一 岁 , 缀 术 四 岁 , 缉 古 三 岁 , 记 遗 三 等 数 皆 兼 习 之 。 窃 惟 数 学 为 六 艺 之 一 , 唐 以 取 士 共 十 经 。 周 髀 家 塾 曾 刊 行 之 , 余 则 世 有 不 能 举 其 名 者 。 扆 半 生 求 之 , 从 太 仓 王 氏 得 孙 子 、 五 曹 、 张 邱 建 、 夏 侯 阳 四 种 , 从 章 邱 李 氏 得 周 髀 、 缉 古 二 种 , 后 从 黄 俞 邰 又 得 九 章 。 皆 元 丰 七 年 秘 书 省 刊 板 , 字 书 端 楷 , 雕 镂 精 工 , 真 世 之 宝 也 。 每 卷 后 有 秘 书 省 官 衔 姓 名 一 幅 , 又 一 幅 宰 辅 大 臣 , 自 司 马 相 公 而 下 俱 列 名 于 后 , 用 见 当 时 郑 重 若 此 。 因 求 善 书 者 刻 画 影 摹 , 不 爽 毫 末 , 什 袭 而 藏 之 。 但 焉 得 海 岛 、 五 经 、 缀 术 三 种 , 竟 成 完 璧 , 并 得 好 事 者 刊 刻 流 布 , 俾 数 学 不 绝 于 世 , 所 深 愿 也 。康 熙 甲 子 仲 秋 汲 古 后 人 毛 扆 谨 识

卷 第 二, 并 二 位 , 以 开 方 除 之 , 即 得 斜 袤 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 各 以 本 县 人 功 积 尺 , 每 以 前 大 高 、 广 为 后 小 高 、 主 廉 母 自 乘 , 为 方 母 。 廉 母 乘 方 母 , 为 实 母 ( 此 平 堤 在 上 , 羡 除 在 下 。 两 高 之 差 即 除 高 。 其 除 两 边 各 一 鳖 腝 , 中 一 堑 堵 。 今 以 袤 再 乘 六 因 积 , 广 差 乘 袤 差 而 一 , 得 截 鳖 腝 袤 , 再 自 乘 , 为 立 方 一 。 又 堑 堵 袤 自 乘 , 为 幂 一 。 又 三 因 小 头 下 广 , 大 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 与 幂 为 高 , 故 为 廉 法 。 又 并 小 头 上 下 广 , 又 三 之 , 以 乘 小 头 高 为 头 幂 , 意 同 六 除 。 然 此 头 幂 , 本 乘 截 袤 。 又 袤 乘 之 , 差 相 乘 而 一 。 今 还 依 数 乘 除 一 头 幂 , 为 从 。 开 立 方 除 之 , 得 截 袤 ) 。求 堤 都 积 , 术 曰 : 置 西 头 高 , 倍 之 , 加 东 头 高 , 又 并 西 头 上 下 广 , 半 而 乘 之 。 又 置 东 头 高 , 倍 之 , 加 西 头 高 , 又 并 东 头 上 下 广 , 半 而 乘 之 。 并 二 位 积 , 以 正 袤 乘 之 , 六 而 一 , 得 堤 积 也 。假 令 筑 龙 尾 堤 , 其 堤 从 头 高 、 上 阔 以 次 低 狭 至 尾 。 上 广 多 , 下 广 少 , 堤 头 上 下 广 差 六 尺 , 下 广 少 高 一 丈 二 尺 , 少 袤 四 丈 八 尺 。 甲 县 二 千 三 百 七 十 五 人 , 乙 县 二 千 三 百 七 十 八 人 , 丙 县 五 千 二 百 四 十 七 人 。 各 人 程 功 常 积 一 尺 九 寸 八 分 , 一 日 役 毕 , 三 县 共 筑 。 今 从 堤 尾 与 甲 县 , 以 次 与 乙 、 丙 。 问 : 龙 尾 堤 从 头 至 尾 高 、 袤 、 广 及 各 县 别 给 高 、 袤 、 广 各 多 少 。答 曰 :高 三 丈 ,上 广 三 丈 四 尺 ,下 广 一 丈 八 尺 ,袤 六 丈 六 尺 ;甲 县 高 一 丈 五 尺 ,袤 三 丈 三 尺 ,上 广 二 丈 一 尺 ;乙 县 高 二 丈 一 尺 ,袤 一 丈 三 尺 二 寸 ,上 广 二 丈 二 尺 二 寸 ;丙 县 高 三 丈 , 袤 一 丈 九 尺 八 寸 ,上 广 二 丈 四 尺 。求 龙 尾 堤 广 、 袤 、 高 , 术 曰 : 以 程 功 乘 总 人 , 为 堤 积 。 又 六 因 之 , 为 虚 积 。 以 少 高 乘 少 袤 , 为 隅 幂 。 以 少 上 广 乘 之 , 为 鳖 隅 积 。 以 减 虚 积 , 余 , 三 约 之 , 所 得 为 实 。 并 少 高 、 袤 , 以 少 上 广 乘 之 , 为 鳖 从 横 廉 幂 。 三 而 一 , 加 隅 幂 , 为 方 法 。 又 三 除 少 上 广 , 以 少 袤 、 少 高 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 下 广 。 加 差 , 即 高 、 广 、 袤 。求 逐 县 均 给 积 尺 受 广 、 袤 , 术 曰 : 以 程 功 乘 当 县 人 , 当 积 尺 。 各 六 因 积 尺 。 又 乘 袤 幂 。 广 差 乘 高 , 为 法 。 除 之 , 为 实 。 又 三 因 末 广 , 以 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 为 都 廉 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 甲 袤 。 以 本 高 乘 之 , 以 本 袤 除 之 , 即 甲 高 。 又 以 广 差 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 末 广 , 即 甲 上 广 。 其 甲 上 广 即 乙 末 广 , 其 甲 高 即 垣 高 。 求 实 与 都 廉 , 如 前 。 又 并 甲 上 下 广 , 三 之 , 乘 甲 高 , 又 乘 袤 幂 , 以 法 除 之 , 得 垣 方 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 乙 袤 。 余 放 此 ( 此 龙 尾 犹 羡 除 也 。 其 堑 堵 一 , 鳖 腝 一 , 并 而 相 连 。 今 以 袤 再 乘 积 , 广 差 乘 高 而 一 , 所 得 截 鳖 腝 袤 再 自 乘 , 为 立 方 一 。 又 堑 堵 袤 自 乘 , 为 幂 一 。 又 三 因 末 广 , 以 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 与 幂 为 高 , 故 为 廉 法 ) 。假 令 穿 河 , 袤 一 里 二 百 七 十 六 步 , 下 广 六 步 一 尺 二 寸 ; 北 头 深 一 丈 八 尺 六 寸 , 上 广 十 二 步 二 尺 四 寸 ; 南 头 深 二 百 四 十 一 尺 八 寸 ; 上 广 八 十 六 步 四 尺 八 寸 。 运 土 于 河 西 岸 造 漘 , 北 头 高 二 百 二 十 三 尺 二 寸 , 南 头 无 高 , 下 广 四 百 六 尺 七 寸 五 厘 , 袤 与 河 同 。 甲 郡 二 万 二 千 三 百 二 十 人 , 乙 郡 六 万 八 千 七 十 六 人 , 丙 郡 五 万 九 千 九 百 八 十 五 人 , 丁 郡 三 万 七 千 九 百 四 十 四 人 。 自 穿 、 负 、 筑 , 各 人 程 功 常 积 三 尺 七 寸 二 分 。 限 九 十 六 日 役 , 河 漘 俱 了 。 四 郡 分 共 造 漘 , 其 河 自 北 头 先 给 甲 郡 , 以 次 与 乙 , 合 均 赋 积 尺 。 问 : 逐 郡 各 给 斜 、 正 袤 , 上 广 及 深 , 并 漘 上 广 各 多 少 ?答 曰 :漘 上 广 五 丈 八 尺 二 寸 一 分 ;甲 郡 正 袤 一 百 四 十 四 丈 ,斜 袤 一 百 四 十 四 丈 三 尺 ,上 广 二 十 六 丈 四 寸 ,深 一 十 一 丈 一 尺 六 寸 ;乙 郡 正 袤 一 百 一 十 五 丈 二 尺 ,斜 袤 一 百 一 十 五 丈 四 尺 四 寸 ,上 广 四 十 丈 九 尺 二 寸 ,深 一 十 八 丈 六 尺 ;丙 郡 正 袤 五 十 七 丈 六 尺 ,斜 袤 五 十 七 丈 七 尺 二 寸 ,上 广 四 十 八 丈 三 尺 六 寸 ,深 二 十 二 丈 三 尺 二 寸 ,丁 郡 正 袤 二 十 八 丈 八 尺 ,斜 袤 二 十 八 丈 八 尺 六 寸 ,上 广 五 十 二 丈 八 寸 ,深 二 十 四 丈 一 尺 八 寸 。术 曰 : 如 筑 堤 术 入 之 ( 覆 堤 为 河 , 彼 注 甚 明 , 高 深 稍 殊 , 程 功 是 同 , 意 可 知 也 ) 。 以 程 功 乘 甲 郡 人 , 又 以 限 日 乘 之 , 四 之 , 三 而 一 , 为 积 。 又 六 因 , 以 乘 袤 幂 。 以 上 广 差 乘 深 差 , 为 法 。 除 之 , 为 实 。 又 并 小 头 上 、 下 广 , 以 乘 小 头 深 , 三 之 , 为 垣 头 幂 。 又 乘 袤 幂 , 以 法 除 之 , 为 垣 方 。 三 因 小 头 上 广 , 以 乘 正 袤 , 以 广 差 除 之 , 为 都 廉 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 得 小 头 袤 , 为 甲 袤 。 求 深 、 广 , 以 本 袤 及 深 广 差 求 之 。 以 两 头 上 广 差 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 小 头 上 广 , 即 甲 上 广 。 以 小 头 深 减 南 头 深 , 余 以 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 小 头 深 , 即 甲 深 。 又 正 袤 自 乘 , 深 差 自 乘 , 并 , 而 开 方 除 之 , 即 斜 袤 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 每 以 前 大 深 、 广 为 后 小 深 、 广 , 准 甲 求 之 , 即 得 。求 漘 上 广 , 术 曰 : 以 程 功 乘 总 人 , 又 以 限 日 乘 之 , 为 积 。 六 因 之 , 为 实 。 以 正 袤 除 之 , 又 以 高 除 之 , 所 得 以 下 广 减 之 , 余 又 半 之 , 即 漘 上 广 。假 令 四 郡 输 粟 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 一 人 作 功 为 均 。 自 上 给 甲 , 以 次 与 乙 。 其 甲 郡 输 粟 三 万 八 千 七 百 四 十 五 石 六 斗 , 乙 郡 输 粟 三 万 四 千 九 百 五 石 六 斗 , 丙 郡 输 粟 , 二 万 六 千 二 百 七 十 石 四 斗 , 丁 郡 输 粟 一 万 四 千 七 十 八 石 四 斗 。 四 郡 共 穿 窖 , 上 袤 多 于 上 广 一 丈 , 少 于 下 袤 三 丈 , 多 于 深 六 丈 , 少 于 下 广 一 丈 。 各 计 粟 多 少 , 均 出 丁 夫 。 自 穿 、 负 、 筑 , 冬 程 人 功 常 积 一 十 二 尺 , 一 日 役 。 问 : 窖 上 下 广 、 袤 、 深 , 郡 别 出 人 及 窖 深 、 广 各 多 少 ?答 曰 :窖 上 广 八 丈 ,上 袤 九 丈 ,下 广 一 十 丈 ,下 袤 一 十 二 丈 ,深 三 丈 ;甲 郡 八 千 七 十 二 人 ,深 一 十 二 尺 ,下 袤 一 十 丈 二 尺 ,广 八 丈 八 尺 ;乙 郡 七 千 二 百 七 十 二 人 ,深 九 尺 ,下 袤 一 十 一 丈 一 尺 ,广 九 丈 四 尺 ;丙 郡 五 千 四 百 七 十 三 人 ,深 六 尺 , 下 袤 一 十 一 丈 七 尺 ,广 九 丈 八 尺 ;丁 郡 二 千 九 百 三 十 三 人 ,深 三 尺 ,下 袤 一 十 二 丈 ,广 一 十 丈 。求 窖 深 、 广 、 袤 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 总 粟 , 为 积 尺 。 又 广 差 乘 袤 差 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 乃 置 堑 上 广 , 半 广 差 加 之 , 以 乘 堑 上 袤 , 为 隅 头 幂 。 又 半 袤 差 , 乘 堑 上 广 , 以 隅 阳 幂 及 隅 头 幂 加 之 , 为 方 法 。 又 置 堑 上 袤 及 堑 上 广 , 并 之 , 为 大 广 。 又 并 广 差 及 袤 差 , 半 之 , 以 加 大 广 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 深 。 各 加 差 , 即 合 所 问 。求 均 给 积 尺 受 广 、 袤 、 深 , 术 曰 : 如 筑 台 术 入 之 。 以 斛 法 乘 甲 郡 输 粟 , 为 积 尺 。 又 三 因 , 以 深 幂 乘 之 , 以 广 差 乘 袤 差 而 一 , 为 实 。 深 乘 上 广 , 广 差 而 一 , 为 上 广 之 高 。 深 乘 上 袤 , 袤 差 而 一 , 为 上 袤 之 高 。 上 广 之 高 乘 上 袤 之 高 , 三 之 , 为 方 法 。 又 并 两 高 , 三 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 甲 深 。 以 袤 差 乘 之 , 以 本 深 除 之 , 所 加 上 袤 , 即 甲 下 袤 。 以 广 差 乘 之 , 本 深 除 之 , 所 得 加 上 广 , 即 甲 下 广 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 每 以 前 下 广 、 袤 为 后 上 广 、 袤 , 以 次 皆 准 此 求 之 , 即 得 。 若 求 人 数 , 各 以 程 功 约 当 郡 积 尺 。假 令 亭 仓 上 小 下 大 , 上 下 方 差 六 尺 , 高 多 上 方 九 尺 , 容 粟 一 百 八 十 七 石 二 斗 。 今 已 运 出 五 十 石 四 斗 。 问 : 仓 上 下 方 、 高 及 余 粟 深 、 上 方 各 多 少 ?答 曰 :上 方 三 尺 ,下 方 九 尺 ,高 一 丈 二 尺 ;余 粟 深 、 上 方 俱 六 尺 。求 仓 方 、 高 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 容 粟 , 为 积 尺 。 又 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 乘 截 高 , 以 减 积 , 余 为 实 。 又 方 差 乘 截 高 , 加 隅 阳 幂 , 为 方 法 。 又 置 方 差 , 加 截 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 。求 余 粟 高 及 上 方 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 出 粟 , 三 之 , 以 乘 高 幂 , 令 方 差 幂 而 一 , 为 实 ( 此 是 大 、 小 高 各 自 乘 , 各 乘 取 高 。 是 大 高 者 , 即 是 取 高 与 小 高 并 ) 。 高 乘 上 方 , 方 差 而 一 , 为 小 高 。 令 自 乘 , 三 之 , 为 方 法 。 三 因 小 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 取 出 高 。 以 减 本 高 , 余 即 残 粟 高 。 置 出 粟 高 , 又 以 方 差 乘 之 , 以 本 高 除 之 , 所 得 加 上 方 , 即 余 粟 上 方 ( 此 本 术 曰 : 上 下 方 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 高 乘 之 , 三 而 一 。 今 还 元 , 三 之 , 又 高 幂 乘 之 , 差 幂 而 一 , 得 大 小 高 相 乘 , 又 各 自 乘 之 数 。 何 者 ? 若 高 乘 下 方 , 方 差 而 一 , 得 大 高 也 。 若 高 乘 上 方 , 方 差 而 一 , 得 小 高 也 。 然 则 斯 本 下 方 自 乘 , 故 须 高 自 乘 乘 之 , 差 自 乘 而 一 , 即 得 大 高 自 乘 之 数 。 小 高 亦 然 。 凡 大 高 者 , 即 是 取 高 与 小 高 并 相 连 。 今 大 高 自 乘 为 大 方 。 大 方 之 内 即 有 取 高 自 乘 幂 一 , 隅 头 小 高 自 乘 幂 一 。 又 其 两 边 各 有 以 取 高 乘 小 高 , 为 幂 二 。 又 大 小 高 相 乘 , 为 中 方 。 中 方 之 内 即 有 小 高 乘 取 高 幂 一 。 又 小 高 自 乘 , 即 是 小 方 之 幂 又 一 。 则 小 高 乘 大 高 , 又 各 自 乘 三 等 幂 , 皆 以 乘 取 高 为 立 积 。 故 三 因 小 幂 为 方 , 及 三 小 高 为 廉 也 ) 。假 令 刍 甍 上 袤 三 丈 , 下 袤 九 丈 , 广 六 丈 , 高 一 十 二 丈 。 有 甲 县 六 百 三 十 二 人 , 乙 县 二 百 四 十 三 人 。 夏 程 人 功 当 积 三 十 六 尺 , 限 八 日 役 。 自 穿 筑 , 二 县 共 造 。 今 甲 县 先 到 。 问 : 自 下 给 高 、 广 、 袤 、 各 多 少 ?答 曰 :高 四 丈 八 尺 ,上 广 三 丈 六 尺 ,袤 六 丈 六 尺 。求 甲 县 均 给 积 尺 受 广 、 袤 , 术 曰 : 以 程 功 乘 乙 县 人 数 , 又 以 限 日 乘 之 , 为 积 尺 。 以 六 因 之 , 又 高 幂 乘 之 , 又 袤 差 乘 广 而 一 , 所 得 又 半 之 , 为 实 。 高 乘 上 袤 , 袤 差 而 一 , 为 上 袤 之 高 。 三 因 上 袤 之 高 , 半 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 乙 高 。 以 减 甍 高 , 余 即 甲 高 。 求 广 、 袤 , 依 率 求 之 ( 此 乙 积 本 倍 下 袤 , 上 袤 从 之 。 以 下 广 及 高 乘 之 , 六 而 一 , 为 一 甍 积 。 今 还 元 须 六 因 之 , 以 高 幂 乘 之 , 为 实 。 袤 差 乘 广 而 一 , 得 取 高 自 乘 以 乘 三 上 袤 之 高 , 则 三 小 高 为 廉 法 , 各 以 取 高 为 方 。 仍 有 取 高 为 立 方 者 二 , 故 半 之 , 为 立 方 一 。 又 须 半 廉 法 ) 。假 令 圆 囤 上 小 下 大 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 以 率 径 一 周 三 。 上 下 周 差 一 丈 二 尺 , 高 多 上 周 一 丈 八 尺 , 容 粟 七 百 五 斛 六 斗 。 今 已 运 出 二 百 六 十 六 石 四 斗 。 问 : 残 粟 去 口 、 上 下 周 、 高 各 多 少 ?答 曰 :一 周 一 丈 八 尺 ,下 周 三 丈 ,高 三 丈 六 尺 ,去 口 一 丈 八 尺 ,粟 周 二 丈 四 尺 。求 圆 囤 上 下 周 及 高 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 容 粟 , 又 三 十 六 乘 之 , 三 而 一 , 为 方 亭 之 积 。 又 以 周 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 乘 截 高 , 以 减 亭 积 , 余 为 实 。 又 周 差 乘 截 高 , 加 隅 阳 幂 , 为 方 法 。 又 以 周 差 加 截 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 上 周 。 加 差 , 而 合 所 问 。求 粟 去 口 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 出 斛 , 三 十 六 乘 之 , 以 乘 高 幂 , 如 周 差 幂 而 一 , 为 实 。 高 乘 上 周 , 周 差 而 一 , 为 小 高 。 令 自 乘 , 三 之 , 为 方 法 。 三 因 小 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 去 口 ( 三 十 六 乘 讫 , 即 是 截 方 亭 , 与 前 方 窖 不 别 ) 。 置 去 口 , 以 周 差 乘 之 , 以 本 高 除 之 , 所 得 加 上 周 , 即 粟 周 。假 令 有 粟 二 万 三 千 一 百 二 十 斛 七 斗 三 升 , 欲 作 方 仓 一 , 圆 窖 一 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 。 令 高 、 深 等 , 使 方 面 少 于 圆 径 九 寸 , 多 于 高 二 丈 九 尺 八 寸 , 率 径 七 , 周 二 十 二 。 问 : 方 、 径 、 深 多 少 ?答 曰 :仓 方 四 丈 五 尺 三 寸 ( 容 粟 一 万 二 千 七 百 二 十 二 斛 九 斗 五 升 八 合 ) ,窖 径 四 丈 六 尺 二 寸 ( 容 粟 一 万 三 百 九 十 七 石 七 斗 七 升 二 合 ) ,高 与 深 各 一 丈 五 尺 五 寸 。求 方 、 径 高 深 , 术 曰 : 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 数 , 二 十 五 而 一 , 为 实 。 又 倍 多 加 少 , 以 乘 少 数 , 又 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 倍 少 数 , 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 又 倍 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 高 、 深 。 各 加 差 , 即 方 径 ( 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 为 积 尺 。 前 一 十 四 馀 , 今 还 元 , 一 十 四 乘 。 为 径 自 乘 者 , 是 一 十 一 ; 方 自 乘 者 , 是 一 十 四 。 故 并 之 为 二 十 五 。 凡 此 方 、 圆 二 径 长 短 不 同 , 二 径 各 自 乘 为 方 , 大 小 各 别 。 然 则 此 堑 方 二 丈 九 尺 八 寸 , 堑 径 三 丈 七 寸 , 皆 成 方 面 。 此 应 堑 方 自 乘 , 一 十 四 乘 之 ; 堑 径 自 乘 , 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 为 隅 幂 , 即 方 法 也 。 但 二 隅 幂 皆 以 堑 数 为 方 面 。 今 此 术 就 省 , 倍 小 隅 方 , 加 差 为 矩 袤 , 以 差 乘 之 为 矩 幂 。 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 。 又 差 自 乘 之 数 , 即 是 方 圆 之 隅 同 有 此 数 , 若 二 十 五 乘 之 , 还 须 二 十 五 除 。 直 以 差 自 乘 加 之 , 故 不 复 乘 除 。 又 须 倍 二 廉 之 差 , 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 倍 差 加 之 , 为 廉 法 , 不 复 二 十 五 乘 除 之 也 ) 。还 元 , 术 曰 : 仓 方 自 乘 , 以 高 乘 之 , 为 实 。 圆 径 自 乘 , 以 深 乘 之 , 一 十 一 乘 , 一 十 四 而 一 , 为 实 。 皆 为 斛 法 除 之 , 即 得 容 粟 ( 斛 法 二 尺 五 寸 ) 。假 令 有 粟 一 万 六 千 三 百 四 十 八 石 八 斗 , 欲 作 方 仓 四 、 圆 窖 三 , 令 高 、 深 等 , 方 面 少 于 圆 径 一 丈 , 多 于 高 五 尺 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 率 径 七 , 周 二 十 二 。 问 : 方 、 高 、 径 多 少 ?答 曰 :方 一 丈 八 尺 ,高 深 一 丈 三 尺 ,圆 径 二 丈 八 尺 。术 曰 : 以 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 数 , 如 八 十 九 而 一 , 为 实 。 倍 多 加 少 , 以 乘 少 数 , 三 十 三 乘 之 , 八 十 九 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 倍 少 数 , 以 三 十 三 乘 之 , 八 十 九 而 一 , 倍 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 高 、 深 。 各 加 差 , 即 方 径 ( 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 为 径 自 乘 及 方 自 乘 数 与 前 同 。 今 方 仓 四 , 即 四 因 十 四 。 圆 窖 三 , 即 三 因 十 一 。 并 之 , 为 八 十 九 , 而 一 。 此 堑 径 一 丈 五 尺 , 堑 方 五 尺 , 以 高 为 立 方 。 自 外 意 同 前 ) 。假 令 有 粟 三 千 七 十 二 石 , 欲 作 方 仓 一 、 圆 窖 一 , 令 径 与 方 等 , 方 于 窖 深 二 尺 , 少 于 仓 高 三 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 : 方 、 径 、 高 、 深 各 多 少 ?答 曰 :方 、 径 各 一 丈 六 尺 ,高 一 丈 九 尺 ,深 一 丈 四 尺 。术 曰 : 三 十 五 乘 粟 , 二 十 五 而 一 , 为 率 。 多 自 乘 , 以 并 多 少 乘 之 , 以 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 所 得 以 减 率 , 余 为 实 。 并 多 少 , 以 乘 多 , 倍 之 , 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 并 多 少 , 以 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 加 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 窖 深 。 各 加 差 , 即 方 、 径 、 高 ( 截 高 五 尺 , 堑 径 及 方 二 尺 , 以 深 为 立 方 。 十 四 乘 斛 法 , 故 三 十 五 乘 粟 。 多 自 乘 并 多 少 乘 之 , 为 截 高 隅 积 , 即 二 廉 , 方 各 二 尺 , 长 五 尺 。 自 外 意 旨 皆 与 前 同 ) 。假 令 有 粟 五 千 一 百 四 十 石 , 欲 作 方 窖 、 圆 窖 各 一 , 令 口 小 底 大 , 方 面 于 圆 径 等 , 两 深 亦 同 , 其 深 少 于 下 方 七 尺 , 多 于 上 方 一 丈 四 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 : 方 、 径 、 深 各 多 少 ?答 曰 :上 方 、 径 各 七 尺 ,下 方 、 径 各 二 丈 八 尺 ,深 各 二 丈 一 尺 。术 曰 : 以 四 十 二 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 七 十 五 而 一 , 为 方 亭 积 。 令 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 , 以 截 多 乘 之 , 减 积 , 余 为 实 。 以 多 乘 差 , 加 幂 , 为 方 法 。 多 加 差 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 ( 凡 方 亭 , 上 下 方 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 乘 高 , 为 虚 。 命 三 而 一 , 为 方 亭 积 。 若 圆 亭 上 下 径 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 乘 高 , 为 虚 。 又 十 一 乘 之 , 四 十 二 而 一 , 为 圆 亭 积 。 今 方 、 圆 二 积 并 在 一 处 , 故 以 四 十 二 复 乘 之 , 即 得 圆 虚 十 一 , 方 虚 十 四 , 凡 二 十 五 , 而 一 , 得 一 虚 之 积 。 又 三 除 虚 积 , 为 方 亭 实 。 乃 依 方 亭 复 问 法 , 见 上 下 方 差 及 高 差 与 积 求 上 下 方 高 术 入 之 , 故 三 乘 , 二 十 五 而 一 ) 。假 令 有 粟 二 万 六 千 三 百 四 十 二 石 四 斗 , 欲 作 方 窖 六 、 圆 窖 四 , 令 口 小 底 大 , 方 面 与 圆 径 等 , 其 深 亦 同 , 令 深 少 於 下 方 七 尺 , 多 於 上 方 一 丈 四 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 上 下 方 、 深 数 各 多 少 ?答 曰 :方 窖 上 方 七 尺 ,下 方 二 丈 八 尺 ,深 二 丈 一 尺 ,圆 窖 上 下 径 、 深 与 方 窖 同 。术 曰 : 以 四 十 二 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 三 百 八 十 四 而 一 , 为 方 亭 积 尺 。 令 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 多 乘 之 , 以 减 积 , 余 为 实 。 以 多 乘 差 , 加 幂 , 为 方 法 。 又 以 多 加 差 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 ( 今 以 四 十 二 乘 。 圆 虚 十 一 者 四 , 方 虚 十 四 者 六 , 合 一 百 二 十 八 虚 , 除 之 , 为 一 虚 之 积 。 得 者 仍 三 而 一 , 为 方 亭 实 积 。 乃 依 方 亭 见 差 复 问 求 之 , 故 三 乘 , 一 百 二 十 八 除 之 ) 。假 令 有 句 股 相 乘 幂 七 百 六 十 五 分 之 一 , 弦 多 于 句 三 十 六 十 分 之 九 。 问 : 三 事 各 多 少 ?答 曰 :句 十 四 二 十 分 之 七 ,股 四 十 九 五 分 之 一 ,弦 五 十 一 四 分 之 一 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 多 数 而 一 , 为 实 。 半 多 数 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 句 。 以 弦 多 句 加 之 , 即 弦 。 以 句 除 幂 , 即 股 ( 句 股 相 乘 幂 自 乘 , 与 句 幂 乘 股 幂 积 等 。 故 以 倍 句 弦 差 而 一 , 得 一 句 与 半 差 之 共 乘 句 幂 , 为 方 。 故 半 差 为 廉 法 , 从 , 开 立 方 除 之 。 按 : 此 术 原 本 不 全 , 今 依 句 股 义 拟 补 十 三 字 ) 。假 令 有 句 股 相 乘 幂 四 千 三 十 六 五 分 之 □ , 股 少 于 弦 六 五 分 之 一 。 问 : 弦 多 少 ? ( 按 : 此 问 原 本 缺 二 字 , 今 依 文 补 一 股 字 , 其 股 字 上 之 □ 系 所 设 分 数 , 未 便 悬 拟 , 今 姑 阙 之 ) 。答 曰 : 弦 一 百 一 十 四 十 分 之 七 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 少 数 而 一 , 为 实 。 半 少 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 股 。 加 差 , 即 弦 。假 令 有 句 弦 相 乘 幂 一 千 三 百 三 十 七 二 十 分 之 一 , 弦 多 股 一 、 十 分 之 一 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 九 十 二 五 分 之 二 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 多 而 一 , 为 立 幂 。 又 多 再 自 乘 , 半 之 , 减 立 幂 , 余 为 实 。 又 多 数 自 乘 , 倍 之 , 为 方 法 。 又 置 多 数 , 五 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 股 ( 句 弦 相 乘 幂 自 乘 , 即 句 幂 乘 弦 幂 之 积 。 故 以 倍 股 弦 差 而 一 , 得 一 股 与 半 差 □ □ □ □ □ 为 方 令 多 再 自 乘 半 之 为 隅 □ □ □ □ □ 横 虚 二 立 廉 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 倍 之 为 从 隅 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 多 为 上 广 即 二 多 □ □ □ □ □ □ □ □ □ 法 故 五 之 二 而 一 ) 。案 : 此 术 脱 简 既 多 , 法 亦 烦 扰 , 宜 云 幂 自 乘 , 多 数 而 一 , 所 得 四 之 , 为 实 。 多 为 廉 法 , 从 。 立 方 开 之 , 得 减 差 , 半 之 , 即 股 ( 幂 自 乘 , 与 勾 幂 弦 幂 相 乘 积 等 。 令 勾 幂 变 为 股 弦 并 乘 股 弦 差 , 故 差 而 一 , 所 得 乃 股 弦 并 乘 弦 幂 ) 。假 令 有 股 弦 相 乘 幂 四 千 七 百 三 十 九 五 分 之 三 , 句 少 于 弦 五 十 四 五 分 之 二 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 六 十 八 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 少 数 而 一 , 为 立 幂 。 又 少 数 再 自 乘 , 半 之 , 以 减 立 幂 , 余 为 实 。 又 少 数 自 乘 , 倍 之 , 为 方 法 。 又 置 少 数 , 五 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 句 。 加 差 , 即 弦 。 弦 除 幂 , 即 股 。假 令 有 股 弦 相 乘 幂 七 百 二 十 六 , 句 七 、 十 分 之 七 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 股 二 十 六 五 分 之 二 。术 曰 : 幂 自 乘 , 为 实 。 句 自 乘 , 为 方 法 , 从 。 开 方 除 之 , 所 得 又 开 方 , 即 股 ( □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 数 亦 是 股 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 为 长 以 股 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 得 股 幂 又 开 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 股 北 分 母 常 … … )假 令 有 股 十 六 二 分 之 一 , 句 弦 相 乘 幂 一 百 六 十 四 二 十 五 分 之 十 四 。 问 : 句 多 少 ?答 曰 : 句 八 、 五 分 之 四 。术 曰 : 幂 自 乘 , 为 实 。 股 自 乘 , 为 方 法 , 从 。 开 方 除 之 , 所 得 又 开 方 , 即 句 。卷 第 二lol赛后季竞猜卷 第 一

lol赛后季竞猜缉 古 算 经 跋按 《 唐 书 · 选 举 志 》 制 科 之 目 , 明 算 居 一 , 其 定 制 云 : 凡 算 学 , 孙 子 、 五 曹 共 限 一 岁 , 九 章 、 海 岛 共 三 岁 , 张 邱 建 、 夏 侯 阳 各 一 岁 , 周 髀 、 五 经 算 共 一 岁 , 缀 术 四 岁 , 缉 古 三 岁 , 记 遗 三 等 数 皆 兼 习 之 。 窃 惟 数 学 为 六 艺 之 一 , 唐 以 取 士 共 十 经 。 周 髀 家 塾 曾 刊 行 之 , 余 则 世 有 不 能 举 其 名 者 。 扆 半 生 求 之 , 从 太 仓 王 氏 得 孙 子 、 五 曹 、 张 邱 建 、 夏 侯 阳 四 种 , 从 章 邱 李 氏 得 周 髀 、 缉 古 二 种 , 后 从 黄 俞 邰 又 得 九 章 。 皆 元 丰 七 年 秘 书 省 刊 板 , 字 书 端 楷 , 雕 镂 精 工 , 真 世 之 宝 也 。 每 卷 后 有 秘 书 省 官 衔 姓 名 一 幅 , 又 一 幅 宰 辅 大 臣 , 自 司 马 相 公 而 下 俱 列 名 于 后 , 用 见 当 时 郑 重 若 此 。 因 求 善 书 者 刻 画 影 摹 , 不 爽 毫 末 , 什 袭 而 藏 之 。 但 焉 得 海 岛 、 五 经 、 缀 术 三 种 , 竟 成 完 璧 , 并 得 好 事 者 刊 刻 流 布 , 俾 数 学 不 绝 于 世 , 所 深 愿 也 。康 熙 甲 子 仲 秋 汲 古 后 人 毛 扆 谨 识按 《 唐 书 · 选 举 志 》 制 科 之 目 , 明 算 居 一 , 其 定 制 云 : 凡 算 学 , 孙 子 、 五 曹 共 限 一 岁 , 九 章 、 海 岛 共 三 岁 , 张 邱 建 、 夏 侯 阳 各 一 岁 , 周 髀 、 五 经 算 共 一 岁 , 缀 术 四 岁 , 缉 古 三 岁 , 记 遗 三 等 数 皆 兼 习 之 。 窃 惟 数 学 为 六 艺 之 一 , 唐 以 取 士 共 十 经 。 周 髀 家 塾 曾 刊 行 之 , 余 则 世 有 不 能 举 其 名 者 。 扆 半 生 求 之 , 从 太 仓 王 氏 得 孙 子 、 五 曹 、 张 邱 建 、 夏 侯 阳 四 种 , 从 章 邱 李 氏 得 周 髀 、 缉 古 二 种 , 后 从 黄 俞 邰 又 得 九 章 。 皆 元 丰 七 年 秘 书 省 刊 板 , 字 书 端 楷 , 雕 镂 精 工 , 真 世 之 宝 也 。 每 卷 后 有 秘 书 省 官 衔 姓 名 一 幅 , 又 一 幅 宰 辅 大 臣 , 自 司 马 相 公 而 下 俱 列 名 于 后 , 用 见 当 时 郑 重 若 此 。 因 求 善 书 者 刻 画 影 摹 , 不 爽 毫 末 , 什 袭 而 藏 之 。 但 焉 得 海 岛 、 五 经 、 缀 术 三 种 , 竟 成 完 璧 , 并 得 好 事 者 刊 刻 流 布 , 俾 数 学 不 绝 于 世 , 所 深 愿 也 。康 熙 甲 子 仲 秋 汲 古 后 人 毛 扆 谨 识

卷 第 一, 并 二 位 , 以 开 方 除 之 , 即 得 斜 袤 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 各 以 本 县 人 功 积 尺 , 每 以 前 大 高 、 广 为 后 小 高 、 主 廉 母 自 乘 , 为 方 母 。 廉 母 乘 方 母 , 为 实 母 ( 此 平 堤 在 上 , 羡 除 在 下 。 两 高 之 差 即 除 高 。 其 除 两 边 各 一 鳖 腝 , 中 一 堑 堵 。 今 以 袤 再 乘 六 因 积 , 广 差 乘 袤 差 而 一 , 得 截 鳖 腝 袤 , 再 自 乘 , 为 立 方 一 。 又 堑 堵 袤 自 乘 , 为 幂 一 。 又 三 因 小 头 下 广 , 大 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 与 幂 为 高 , 故 为 廉 法 。 又 并 小 头 上 下 广 , 又 三 之 , 以 乘 小 头 高 为 头 幂 , 意 同 六 除 。 然 此 头 幂 , 本 乘 截 袤 。 又 袤 乘 之 , 差 相 乘 而 一 。 今 还 依 数 乘 除 一 头 幂 , 为 从 。 开 立 方 除 之 , 得 截 袤 ) 。求 堤 都 积 , 术 曰 : 置 西 头 高 , 倍 之 , 加 东 头 高 , 又 并 西 头 上 下 广 , 半 而 乘 之 。 又 置 东 头 高 , 倍 之 , 加 西 头 高 , 又 并 东 头 上 下 广 , 半 而 乘 之 。 并 二 位 积 , 以 正 袤 乘 之 , 六 而 一 , 得 堤 积 也 。假 令 筑 龙 尾 堤 , 其 堤 从 头 高 、 上 阔 以 次 低 狭 至 尾 。 上 广 多 , 下 广 少 , 堤 头 上 下 广 差 六 尺 , 下 广 少 高 一 丈 二 尺 , 少 袤 四 丈 八 尺 。 甲 县 二 千 三 百 七 十 五 人 , 乙 县 二 千 三 百 七 十 八 人 , 丙 县 五 千 二 百 四 十 七 人 。 各 人 程 功 常 积 一 尺 九 寸 八 分 , 一 日 役 毕 , 三 县 共 筑 。 今 从 堤 尾 与 甲 县 , 以 次 与 乙 、 丙 。 问 : 龙 尾 堤 从 头 至 尾 高 、 袤 、 广 及 各 县 别 给 高 、 袤 、 广 各 多 少 。答 曰 :高 三 丈 ,上 广 三 丈 四 尺 ,下 广 一 丈 八 尺 ,袤 六 丈 六 尺 ;甲 县 高 一 丈 五 尺 ,袤 三 丈 三 尺 ,上 广 二 丈 一 尺 ;乙 县 高 二 丈 一 尺 ,袤 一 丈 三 尺 二 寸 ,上 广 二 丈 二 尺 二 寸 ;丙 县 高 三 丈 , 袤 一 丈 九 尺 八 寸 ,上 广 二 丈 四 尺 。求 龙 尾 堤 广 、 袤 、 高 , 术 曰 : 以 程 功 乘 总 人 , 为 堤 积 。 又 六 因 之 , 为 虚 积 。 以 少 高 乘 少 袤 , 为 隅 幂 。 以 少 上 广 乘 之 , 为 鳖 隅 积 。 以 减 虚 积 , 余 , 三 约 之 , 所 得 为 实 。 并 少 高 、 袤 , 以 少 上 广 乘 之 , 为 鳖 从 横 廉 幂 。 三 而 一 , 加 隅 幂 , 为 方 法 。 又 三 除 少 上 广 , 以 少 袤 、 少 高 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 下 广 。 加 差 , 即 高 、 广 、 袤 。求 逐 县 均 给 积 尺 受 广 、 袤 , 术 曰 : 以 程 功 乘 当 县 人 , 当 积 尺 。 各 六 因 积 尺 。 又 乘 袤 幂 。 广 差 乘 高 , 为 法 。 除 之 , 为 实 。 又 三 因 末 广 , 以 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 为 都 廉 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 甲 袤 。 以 本 高 乘 之 , 以 本 袤 除 之 , 即 甲 高 。 又 以 广 差 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 末 广 , 即 甲 上 广 。 其 甲 上 广 即 乙 末 广 , 其 甲 高 即 垣 高 。 求 实 与 都 廉 , 如 前 。 又 并 甲 上 下 广 , 三 之 , 乘 甲 高 , 又 乘 袤 幂 , 以 法 除 之 , 得 垣 方 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 乙 袤 。 余 放 此 ( 此 龙 尾 犹 羡 除 也 。 其 堑 堵 一 , 鳖 腝 一 , 并 而 相 连 。 今 以 袤 再 乘 积 , 广 差 乘 高 而 一 , 所 得 截 鳖 腝 袤 再 自 乘 , 为 立 方 一 。 又 堑 堵 袤 自 乘 , 为 幂 一 。 又 三 因 末 广 , 以 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 与 幂 为 高 , 故 为 廉 法 ) 。假 令 穿 河 , 袤 一 里 二 百 七 十 六 步 , 下 广 六 步 一 尺 二 寸 ; 北 头 深 一 丈 八 尺 六 寸 , 上 广 十 二 步 二 尺 四 寸 ; 南 头 深 二 百 四 十 一 尺 八 寸 ; 上 广 八 十 六 步 四 尺 八 寸 。 运 土 于 河 西 岸 造 漘 , 北 头 高 二 百 二 十 三 尺 二 寸 , 南 头 无 高 , 下 广 四 百 六 尺 七 寸 五 厘 , 袤 与 河 同 。 甲 郡 二 万 二 千 三 百 二 十 人 , 乙 郡 六 万 八 千 七 十 六 人 , 丙 郡 五 万 九 千 九 百 八 十 五 人 , 丁 郡 三 万 七 千 九 百 四 十 四 人 。 自 穿 、 负 、 筑 , 各 人 程 功 常 积 三 尺 七 寸 二 分 。 限 九 十 六 日 役 , 河 漘 俱 了 。 四 郡 分 共 造 漘 , 其 河 自 北 头 先 给 甲 郡 , 以 次 与 乙 , 合 均 赋 积 尺 。 问 : 逐 郡 各 给 斜 、 正 袤 , 上 广 及 深 , 并 漘 上 广 各 多 少 ?答 曰 :漘 上 广 五 丈 八 尺 二 寸 一 分 ;甲 郡 正 袤 一 百 四 十 四 丈 ,斜 袤 一 百 四 十 四 丈 三 尺 ,上 广 二 十 六 丈 四 寸 ,深 一 十 一 丈 一 尺 六 寸 ;乙 郡 正 袤 一 百 一 十 五 丈 二 尺 ,斜 袤 一 百 一 十 五 丈 四 尺 四 寸 ,上 广 四 十 丈 九 尺 二 寸 ,深 一 十 八 丈 六 尺 ;丙 郡 正 袤 五 十 七 丈 六 尺 ,斜 袤 五 十 七 丈 七 尺 二 寸 ,上 广 四 十 八 丈 三 尺 六 寸 ,深 二 十 二 丈 三 尺 二 寸 ,丁 郡 正 袤 二 十 八 丈 八 尺 ,斜 袤 二 十 八 丈 八 尺 六 寸 ,上 广 五 十 二 丈 八 寸 ,深 二 十 四 丈 一 尺 八 寸 。术 曰 : 如 筑 堤 术 入 之 ( 覆 堤 为 河 , 彼 注 甚 明 , 高 深 稍 殊 , 程 功 是 同 , 意 可 知 也 ) 。 以 程 功 乘 甲 郡 人 , 又 以 限 日 乘 之 , 四 之 , 三 而 一 , 为 积 。 又 六 因 , 以 乘 袤 幂 。 以 上 广 差 乘 深 差 , 为 法 。 除 之 , 为 实 。 又 并 小 头 上 、 下 广 , 以 乘 小 头 深 , 三 之 , 为 垣 头 幂 。 又 乘 袤 幂 , 以 法 除 之 , 为 垣 方 。 三 因 小 头 上 广 , 以 乘 正 袤 , 以 广 差 除 之 , 为 都 廉 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 得 小 头 袤 , 为 甲 袤 。 求 深 、 广 , 以 本 袤 及 深 广 差 求 之 。 以 两 头 上 广 差 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 小 头 上 广 , 即 甲 上 广 。 以 小 头 深 减 南 头 深 , 余 以 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 小 头 深 , 即 甲 深 。 又 正 袤 自 乘 , 深 差 自 乘 , 并 , 而 开 方 除 之 , 即 斜 袤 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 每 以 前 大 深 、 广 为 后 小 深 、 广 , 准 甲 求 之 , 即 得 。求 漘 上 广 , 术 曰 : 以 程 功 乘 总 人 , 又 以 限 日 乘 之 , 为 积 。 六 因 之 , 为 实 。 以 正 袤 除 之 , 又 以 高 除 之 , 所 得 以 下 广 减 之 , 余 又 半 之 , 即 漘 上 广 。假 令 四 郡 输 粟 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 一 人 作 功 为 均 。 自 上 给 甲 , 以 次 与 乙 。 其 甲 郡 输 粟 三 万 八 千 七 百 四 十 五 石 六 斗 , 乙 郡 输 粟 三 万 四 千 九 百 五 石 六 斗 , 丙 郡 输 粟 , 二 万 六 千 二 百 七 十 石 四 斗 , 丁 郡 输 粟 一 万 四 千 七 十 八 石 四 斗 。 四 郡 共 穿 窖 , 上 袤 多 于 上 广 一 丈 , 少 于 下 袤 三 丈 , 多 于 深 六 丈 , 少 于 下 广 一 丈 。 各 计 粟 多 少 , 均 出 丁 夫 。 自 穿 、 负 、 筑 , 冬 程 人 功 常 积 一 十 二 尺 , 一 日 役 。 问 : 窖 上 下 广 、 袤 、 深 , 郡 别 出 人 及 窖 深 、 广 各 多 少 ?答 曰 :窖 上 广 八 丈 ,上 袤 九 丈 ,下 广 一 十 丈 ,下 袤 一 十 二 丈 ,深 三 丈 ;甲 郡 八 千 七 十 二 人 ,深 一 十 二 尺 ,下 袤 一 十 丈 二 尺 ,广 八 丈 八 尺 ;乙 郡 七 千 二 百 七 十 二 人 ,深 九 尺 ,下 袤 一 十 一 丈 一 尺 ,广 九 丈 四 尺 ;丙 郡 五 千 四 百 七 十 三 人 ,深 六 尺 , 下 袤 一 十 一 丈 七 尺 ,广 九 丈 八 尺 ;丁 郡 二 千 九 百 三 十 三 人 ,深 三 尺 ,下 袤 一 十 二 丈 ,广 一 十 丈 。求 窖 深 、 广 、 袤 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 总 粟 , 为 积 尺 。 又 广 差 乘 袤 差 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 乃 置 堑 上 广 , 半 广 差 加 之 , 以 乘 堑 上 袤 , 为 隅 头 幂 。 又 半 袤 差 , 乘 堑 上 广 , 以 隅 阳 幂 及 隅 头 幂 加 之 , 为 方 法 。 又 置 堑 上 袤 及 堑 上 广 , 并 之 , 为 大 广 。 又 并 广 差 及 袤 差 , 半 之 , 以 加 大 广 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 深 。 各 加 差 , 即 合 所 问 。求 均 给 积 尺 受 广 、 袤 、 深 , 术 曰 : 如 筑 台 术 入 之 。 以 斛 法 乘 甲 郡 输 粟 , 为 积 尺 。 又 三 因 , 以 深 幂 乘 之 , 以 广 差 乘 袤 差 而 一 , 为 实 。 深 乘 上 广 , 广 差 而 一 , 为 上 广 之 高 。 深 乘 上 袤 , 袤 差 而 一 , 为 上 袤 之 高 。 上 广 之 高 乘 上 袤 之 高 , 三 之 , 为 方 法 。 又 并 两 高 , 三 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 甲 深 。 以 袤 差 乘 之 , 以 本 深 除 之 , 所 加 上 袤 , 即 甲 下 袤 。 以 广 差 乘 之 , 本 深 除 之 , 所 得 加 上 广 , 即 甲 下 广 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 每 以 前 下 广 、 袤 为 后 上 广 、 袤 , 以 次 皆 准 此 求 之 , 即 得 。 若 求 人 数 , 各 以 程 功 约 当 郡 积 尺 。假 令 亭 仓 上 小 下 大 , 上 下 方 差 六 尺 , 高 多 上 方 九 尺 , 容 粟 一 百 八 十 七 石 二 斗 。 今 已 运 出 五 十 石 四 斗 。 问 : 仓 上 下 方 、 高 及 余 粟 深 、 上 方 各 多 少 ?答 曰 :上 方 三 尺 ,下 方 九 尺 ,高 一 丈 二 尺 ;余 粟 深 、 上 方 俱 六 尺 。求 仓 方 、 高 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 容 粟 , 为 积 尺 。 又 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 乘 截 高 , 以 减 积 , 余 为 实 。 又 方 差 乘 截 高 , 加 隅 阳 幂 , 为 方 法 。 又 置 方 差 , 加 截 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 。求 余 粟 高 及 上 方 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 出 粟 , 三 之 , 以 乘 高 幂 , 令 方 差 幂 而 一 , 为 实 ( 此 是 大 、 小 高 各 自 乘 , 各 乘 取 高 。 是 大 高 者 , 即 是 取 高 与 小 高 并 ) 。 高 乘 上 方 , 方 差 而 一 , 为 小 高 。 令 自 乘 , 三 之 , 为 方 法 。 三 因 小 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 取 出 高 。 以 减 本 高 , 余 即 残 粟 高 。 置 出 粟 高 , 又 以 方 差 乘 之 , 以 本 高 除 之 , 所 得 加 上 方 , 即 余 粟 上 方 ( 此 本 术 曰 : 上 下 方 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 高 乘 之 , 三 而 一 。 今 还 元 , 三 之 , 又 高 幂 乘 之 , 差 幂 而 一 , 得 大 小 高 相 乘 , 又 各 自 乘 之 数 。 何 者 ? 若 高 乘 下 方 , 方 差 而 一 , 得 大 高 也 。 若 高 乘 上 方 , 方 差 而 一 , 得 小 高 也 。 然 则 斯 本 下 方 自 乘 , 故 须 高 自 乘 乘 之 , 差 自 乘 而 一 , 即 得 大 高 自 乘 之 数 。 小 高 亦 然 。 凡 大 高 者 , 即 是 取 高 与 小 高 并 相 连 。 今 大 高 自 乘 为 大 方 。 大 方 之 内 即 有 取 高 自 乘 幂 一 , 隅 头 小 高 自 乘 幂 一 。 又 其 两 边 各 有 以 取 高 乘 小 高 , 为 幂 二 。 又 大 小 高 相 乘 , 为 中 方 。 中 方 之 内 即 有 小 高 乘 取 高 幂 一 。 又 小 高 自 乘 , 即 是 小 方 之 幂 又 一 。 则 小 高 乘 大 高 , 又 各 自 乘 三 等 幂 , 皆 以 乘 取 高 为 立 积 。 故 三 因 小 幂 为 方 , 及 三 小 高 为 廉 也 ) 。假 令 刍 甍 上 袤 三 丈 , 下 袤 九 丈 , 广 六 丈 , 高 一 十 二 丈 。 有 甲 县 六 百 三 十 二 人 , 乙 县 二 百 四 十 三 人 。 夏 程 人 功 当 积 三 十 六 尺 , 限 八 日 役 。 自 穿 筑 , 二 县 共 造 。 今 甲 县 先 到 。 问 : 自 下 给 高 、 广 、 袤 、 各 多 少 ?答 曰 :高 四 丈 八 尺 ,上 广 三 丈 六 尺 ,袤 六 丈 六 尺 。求 甲 县 均 给 积 尺 受 广 、 袤 , 术 曰 : 以 程 功 乘 乙 县 人 数 , 又 以 限 日 乘 之 , 为 积 尺 。 以 六 因 之 , 又 高 幂 乘 之 , 又 袤 差 乘 广 而 一 , 所 得 又 半 之 , 为 实 。 高 乘 上 袤 , 袤 差 而 一 , 为 上 袤 之 高 。 三 因 上 袤 之 高 , 半 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 乙 高 。 以 减 甍 高 , 余 即 甲 高 。 求 广 、 袤 , 依 率 求 之 ( 此 乙 积 本 倍 下 袤 , 上 袤 从 之 。 以 下 广 及 高 乘 之 , 六 而 一 , 为 一 甍 积 。 今 还 元 须 六 因 之 , 以 高 幂 乘 之 , 为 实 。 袤 差 乘 广 而 一 , 得 取 高 自 乘 以 乘 三 上 袤 之 高 , 则 三 小 高 为 廉 法 , 各 以 取 高 为 方 。 仍 有 取 高 为 立 方 者 二 , 故 半 之 , 为 立 方 一 。 又 须 半 廉 法 ) 。假 令 圆 囤 上 小 下 大 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 以 率 径 一 周 三 。 上 下 周 差 一 丈 二 尺 , 高 多 上 周 一 丈 八 尺 , 容 粟 七 百 五 斛 六 斗 。 今 已 运 出 二 百 六 十 六 石 四 斗 。 问 : 残 粟 去 口 、 上 下 周 、 高 各 多 少 ?答 曰 :一 周 一 丈 八 尺 ,下 周 三 丈 ,高 三 丈 六 尺 ,去 口 一 丈 八 尺 ,粟 周 二 丈 四 尺 。求 圆 囤 上 下 周 及 高 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 容 粟 , 又 三 十 六 乘 之 , 三 而 一 , 为 方 亭 之 积 。 又 以 周 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 乘 截 高 , 以 减 亭 积 , 余 为 实 。 又 周 差 乘 截 高 , 加 隅 阳 幂 , 为 方 法 。 又 以 周 差 加 截 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 上 周 。 加 差 , 而 合 所 问 。求 粟 去 口 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 出 斛 , 三 十 六 乘 之 , 以 乘 高 幂 , 如 周 差 幂 而 一 , 为 实 。 高 乘 上 周 , 周 差 而 一 , 为 小 高 。 令 自 乘 , 三 之 , 为 方 法 。 三 因 小 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 去 口 ( 三 十 六 乘 讫 , 即 是 截 方 亭 , 与 前 方 窖 不 别 ) 。 置 去 口 , 以 周 差 乘 之 , 以 本 高 除 之 , 所 得 加 上 周 , 即 粟 周 。假 令 有 粟 二 万 三 千 一 百 二 十 斛 七 斗 三 升 , 欲 作 方 仓 一 , 圆 窖 一 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 。 令 高 、 深 等 , 使 方 面 少 于 圆 径 九 寸 , 多 于 高 二 丈 九 尺 八 寸 , 率 径 七 , 周 二 十 二 。 问 : 方 、 径 、 深 多 少 ?答 曰 :仓 方 四 丈 五 尺 三 寸 ( 容 粟 一 万 二 千 七 百 二 十 二 斛 九 斗 五 升 八 合 ) ,窖 径 四 丈 六 尺 二 寸 ( 容 粟 一 万 三 百 九 十 七 石 七 斗 七 升 二 合 ) ,高 与 深 各 一 丈 五 尺 五 寸 。求 方 、 径 高 深 , 术 曰 : 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 数 , 二 十 五 而 一 , 为 实 。 又 倍 多 加 少 , 以 乘 少 数 , 又 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 倍 少 数 , 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 又 倍 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 高 、 深 。 各 加 差 , 即 方 径 ( 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 为 积 尺 。 前 一 十 四 馀 , 今 还 元 , 一 十 四 乘 。 为 径 自 乘 者 , 是 一 十 一 ; 方 自 乘 者 , 是 一 十 四 。 故 并 之 为 二 十 五 。 凡 此 方 、 圆 二 径 长 短 不 同 , 二 径 各 自 乘 为 方 , 大 小 各 别 。 然 则 此 堑 方 二 丈 九 尺 八 寸 , 堑 径 三 丈 七 寸 , 皆 成 方 面 。 此 应 堑 方 自 乘 , 一 十 四 乘 之 ; 堑 径 自 乘 , 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 为 隅 幂 , 即 方 法 也 。 但 二 隅 幂 皆 以 堑 数 为 方 面 。 今 此 术 就 省 , 倍 小 隅 方 , 加 差 为 矩 袤 , 以 差 乘 之 为 矩 幂 。 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 。 又 差 自 乘 之 数 , 即 是 方 圆 之 隅 同 有 此 数 , 若 二 十 五 乘 之 , 还 须 二 十 五 除 。 直 以 差 自 乘 加 之 , 故 不 复 乘 除 。 又 须 倍 二 廉 之 差 , 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 倍 差 加 之 , 为 廉 法 , 不 复 二 十 五 乘 除 之 也 ) 。还 元 , 术 曰 : 仓 方 自 乘 , 以 高 乘 之 , 为 实 。 圆 径 自 乘 , 以 深 乘 之 , 一 十 一 乘 , 一 十 四 而 一 , 为 实 。 皆 为 斛 法 除 之 , 即 得 容 粟 ( 斛 法 二 尺 五 寸 ) 。假 令 有 粟 一 万 六 千 三 百 四 十 八 石 八 斗 , 欲 作 方 仓 四 、 圆 窖 三 , 令 高 、 深 等 , 方 面 少 于 圆 径 一 丈 , 多 于 高 五 尺 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 率 径 七 , 周 二 十 二 。 问 : 方 、 高 、 径 多 少 ?答 曰 :方 一 丈 八 尺 ,高 深 一 丈 三 尺 ,圆 径 二 丈 八 尺 。术 曰 : 以 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 数 , 如 八 十 九 而 一 , 为 实 。 倍 多 加 少 , 以 乘 少 数 , 三 十 三 乘 之 , 八 十 九 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 倍 少 数 , 以 三 十 三 乘 之 , 八 十 九 而 一 , 倍 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 高 、 深 。 各 加 差 , 即 方 径 ( 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 为 径 自 乘 及 方 自 乘 数 与 前 同 。 今 方 仓 四 , 即 四 因 十 四 。 圆 窖 三 , 即 三 因 十 一 。 并 之 , 为 八 十 九 , 而 一 。 此 堑 径 一 丈 五 尺 , 堑 方 五 尺 , 以 高 为 立 方 。 自 外 意 同 前 ) 。假 令 有 粟 三 千 七 十 二 石 , 欲 作 方 仓 一 、 圆 窖 一 , 令 径 与 方 等 , 方 于 窖 深 二 尺 , 少 于 仓 高 三 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 : 方 、 径 、 高 、 深 各 多 少 ?答 曰 :方 、 径 各 一 丈 六 尺 ,高 一 丈 九 尺 ,深 一 丈 四 尺 。术 曰 : 三 十 五 乘 粟 , 二 十 五 而 一 , 为 率 。 多 自 乘 , 以 并 多 少 乘 之 , 以 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 所 得 以 减 率 , 余 为 实 。 并 多 少 , 以 乘 多 , 倍 之 , 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 并 多 少 , 以 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 加 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 窖 深 。 各 加 差 , 即 方 、 径 、 高 ( 截 高 五 尺 , 堑 径 及 方 二 尺 , 以 深 为 立 方 。 十 四 乘 斛 法 , 故 三 十 五 乘 粟 。 多 自 乘 并 多 少 乘 之 , 为 截 高 隅 积 , 即 二 廉 , 方 各 二 尺 , 长 五 尺 。 自 外 意 旨 皆 与 前 同 ) 。假 令 有 粟 五 千 一 百 四 十 石 , 欲 作 方 窖 、 圆 窖 各 一 , 令 口 小 底 大 , 方 面 于 圆 径 等 , 两 深 亦 同 , 其 深 少 于 下 方 七 尺 , 多 于 上 方 一 丈 四 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 : 方 、 径 、 深 各 多 少 ?答 曰 :上 方 、 径 各 七 尺 ,下 方 、 径 各 二 丈 八 尺 ,深 各 二 丈 一 尺 。术 曰 : 以 四 十 二 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 七 十 五 而 一 , 为 方 亭 积 。 令 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 , 以 截 多 乘 之 , 减 积 , 余 为 实 。 以 多 乘 差 , 加 幂 , 为 方 法 。 多 加 差 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 ( 凡 方 亭 , 上 下 方 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 乘 高 , 为 虚 。 命 三 而 一 , 为 方 亭 积 。 若 圆 亭 上 下 径 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 乘 高 , 为 虚 。 又 十 一 乘 之 , 四 十 二 而 一 , 为 圆 亭 积 。 今 方 、 圆 二 积 并 在 一 处 , 故 以 四 十 二 复 乘 之 , 即 得 圆 虚 十 一 , 方 虚 十 四 , 凡 二 十 五 , 而 一 , 得 一 虚 之 积 。 又 三 除 虚 积 , 为 方 亭 实 。 乃 依 方 亭 复 问 法 , 见 上 下 方 差 及 高 差 与 积 求 上 下 方 高 术 入 之 , 故 三 乘 , 二 十 五 而 一 ) 。假 令 有 粟 二 万 六 千 三 百 四 十 二 石 四 斗 , 欲 作 方 窖 六 、 圆 窖 四 , 令 口 小 底 大 , 方 面 与 圆 径 等 , 其 深 亦 同 , 令 深 少 於 下 方 七 尺 , 多 於 上 方 一 丈 四 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 上 下 方 、 深 数 各 多 少 ?答 曰 :方 窖 上 方 七 尺 ,下 方 二 丈 八 尺 ,深 二 丈 一 尺 ,圆 窖 上 下 径 、 深 与 方 窖 同 。术 曰 : 以 四 十 二 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 三 百 八 十 四 而 一 , 为 方 亭 积 尺 。 令 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 多 乘 之 , 以 减 积 , 余 为 实 。 以 多 乘 差 , 加 幂 , 为 方 法 。 又 以 多 加 差 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 ( 今 以 四 十 二 乘 。 圆 虚 十 一 者 四 , 方 虚 十 四 者 六 , 合 一 百 二 十 八 虚 , 除 之 , 为 一 虚 之 积 。 得 者 仍 三 而 一 , 为 方 亭 实 积 。 乃 依 方 亭 见 差 复 问 求 之 , 故 三 乘 , 一 百 二 十 八 除 之 ) 。假 令 有 句 股 相 乘 幂 七 百 六 十 五 分 之 一 , 弦 多 于 句 三 十 六 十 分 之 九 。 问 : 三 事 各 多 少 ?答 曰 :句 十 四 二 十 分 之 七 ,股 四 十 九 五 分 之 一 ,弦 五 十 一 四 分 之 一 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 多 数 而 一 , 为 实 。 半 多 数 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 句 。 以 弦 多 句 加 之 , 即 弦 。 以 句 除 幂 , 即 股 ( 句 股 相 乘 幂 自 乘 , 与 句 幂 乘 股 幂 积 等 。 故 以 倍 句 弦 差 而 一 , 得 一 句 与 半 差 之 共 乘 句 幂 , 为 方 。 故 半 差 为 廉 法 , 从 , 开 立 方 除 之 。 按 : 此 术 原 本 不 全 , 今 依 句 股 义 拟 补 十 三 字 ) 。假 令 有 句 股 相 乘 幂 四 千 三 十 六 五 分 之 □ , 股 少 于 弦 六 五 分 之 一 。 问 : 弦 多 少 ? ( 按 : 此 问 原 本 缺 二 字 , 今 依 文 补 一 股 字 , 其 股 字 上 之 □ 系 所 设 分 数 , 未 便 悬 拟 , 今 姑 阙 之 ) 。答 曰 : 弦 一 百 一 十 四 十 分 之 七 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 少 数 而 一 , 为 实 。 半 少 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 股 。 加 差 , 即 弦 。假 令 有 句 弦 相 乘 幂 一 千 三 百 三 十 七 二 十 分 之 一 , 弦 多 股 一 、 十 分 之 一 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 九 十 二 五 分 之 二 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 多 而 一 , 为 立 幂 。 又 多 再 自 乘 , 半 之 , 减 立 幂 , 余 为 实 。 又 多 数 自 乘 , 倍 之 , 为 方 法 。 又 置 多 数 , 五 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 股 ( 句 弦 相 乘 幂 自 乘 , 即 句 幂 乘 弦 幂 之 积 。 故 以 倍 股 弦 差 而 一 , 得 一 股 与 半 差 □ □ □ □ □ 为 方 令 多 再 自 乘 半 之 为 隅 □ □ □ □ □ 横 虚 二 立 廉 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 倍 之 为 从 隅 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 多 为 上 广 即 二 多 □ □ □ □ □ □ □ □ □ 法 故 五 之 二 而 一 ) 。案 : 此 术 脱 简 既 多 , 法 亦 烦 扰 , 宜 云 幂 自 乘 , 多 数 而 一 , 所 得 四 之 , 为 实 。 多 为 廉 法 , 从 。 立 方 开 之 , 得 减 差 , 半 之 , 即 股 ( 幂 自 乘 , 与 勾 幂 弦 幂 相 乘 积 等 。 令 勾 幂 变 为 股 弦 并 乘 股 弦 差 , 故 差 而 一 , 所 得 乃 股 弦 并 乘 弦 幂 ) 。假 令 有 股 弦 相 乘 幂 四 千 七 百 三 十 九 五 分 之 三 , 句 少 于 弦 五 十 四 五 分 之 二 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 六 十 八 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 少 数 而 一 , 为 立 幂 。 又 少 数 再 自 乘 , 半 之 , 以 减 立 幂 , 余 为 实 。 又 少 数 自 乘 , 倍 之 , 为 方 法 。 又 置 少 数 , 五 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 句 。 加 差 , 即 弦 。 弦 除 幂 , 即 股 。假 令 有 股 弦 相 乘 幂 七 百 二 十 六 , 句 七 、 十 分 之 七 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 股 二 十 六 五 分 之 二 。术 曰 : 幂 自 乘 , 为 实 。 句 自 乘 , 为 方 法 , 从 。 开 方 除 之 , 所 得 又 开 方 , 即 股 ( □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 数 亦 是 股 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 为 长 以 股 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 得 股 幂 又 开 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 股 北 分 母 常 … … )假 令 有 股 十 六 二 分 之 一 , 句 弦 相 乘 幂 一 百 六 十 四 二 十 五 分 之 十 四 。 问 : 句 多 少 ?答 曰 : 句 八 、 五 分 之 四 。术 曰 : 幂 自 乘 , 为 实 。 股 自 乘 , 为 方 法 , 从 。 开 方 除 之 , 所 得 又 开 方 , 即 句 。, 并 二 位 , 以 开 方 除 之 , 即 得 斜 袤 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 各 以 本 县 人 功 积 尺 , 每 以 前 大 高 、 广 为 后 小 高 、 主 廉 母 自 乘 , 为 方 母 。 廉 母 乘 方 母 , 为 实 母 ( 此 平 堤 在 上 , 羡 除 在 下 。 两 高 之 差 即 除 高 。 其 除 两 边 各 一 鳖 腝 , 中 一 堑 堵 。 今 以 袤 再 乘 六 因 积 , 广 差 乘 袤 差 而 一 , 得 截 鳖 腝 袤 , 再 自 乘 , 为 立 方 一 。 又 堑 堵 袤 自 乘 , 为 幂 一 。 又 三 因 小 头 下 广 , 大 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 与 幂 为 高 , 故 为 廉 法 。 又 并 小 头 上 下 广 , 又 三 之 , 以 乘 小 头 高 为 头 幂 , 意 同 六 除 。 然 此 头 幂 , 本 乘 截 袤 。 又 袤 乘 之 , 差 相 乘 而 一 。 今 还 依 数 乘 除 一 头 幂 , 为 从 。 开 立 方 除 之 , 得 截 袤 ) 。求 堤 都 积 , 术 曰 : 置 西 头 高 , 倍 之 , 加 东 头 高 , 又 并 西 头 上 下 广 , 半 而 乘 之 。 又 置 东 头 高 , 倍 之 , 加 西 头 高 , 又 并 东 头 上 下 广 , 半 而 乘 之 。 并 二 位 积 , 以 正 袤 乘 之 , 六 而 一 , 得 堤 积 也 。假 令 筑 龙 尾 堤 , 其 堤 从 头 高 、 上 阔 以 次 低 狭 至 尾 。 上 广 多 , 下 广 少 , 堤 头 上 下 广 差 六 尺 , 下 广 少 高 一 丈 二 尺 , 少 袤 四 丈 八 尺 。 甲 县 二 千 三 百 七 十 五 人 , 乙 县 二 千 三 百 七 十 八 人 , 丙 县 五 千 二 百 四 十 七 人 。 各 人 程 功 常 积 一 尺 九 寸 八 分 , 一 日 役 毕 , 三 县 共 筑 。 今 从 堤 尾 与 甲 县 , 以 次 与 乙 、 丙 。 问 : 龙 尾 堤 从 头 至 尾 高 、 袤 、 广 及 各 县 别 给 高 、 袤 、 广 各 多 少 。答 曰 :高 三 丈 ,上 广 三 丈 四 尺 ,下 广 一 丈 八 尺 ,袤 六 丈 六 尺 ;甲 县 高 一 丈 五 尺 ,袤 三 丈 三 尺 ,上 广 二 丈 一 尺 ;乙 县 高 二 丈 一 尺 ,袤 一 丈 三 尺 二 寸 ,上 广 二 丈 二 尺 二 寸 ;丙 县 高 三 丈 , 袤 一 丈 九 尺 八 寸 ,上 广 二 丈 四 尺 。求 龙 尾 堤 广 、 袤 、 高 , 术 曰 : 以 程 功 乘 总 人 , 为 堤 积 。 又 六 因 之 , 为 虚 积 。 以 少 高 乘 少 袤 , 为 隅 幂 。 以 少 上 广 乘 之 , 为 鳖 隅 积 。 以 减 虚 积 , 余 , 三 约 之 , 所 得 为 实 。 并 少 高 、 袤 , 以 少 上 广 乘 之 , 为 鳖 从 横 廉 幂 。 三 而 一 , 加 隅 幂 , 为 方 法 。 又 三 除 少 上 广 , 以 少 袤 、 少 高 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 下 广 。 加 差 , 即 高 、 广 、 袤 。求 逐 县 均 给 积 尺 受 广 、 袤 , 术 曰 : 以 程 功 乘 当 县 人 , 当 积 尺 。 各 六 因 积 尺 。 又 乘 袤 幂 。 广 差 乘 高 , 为 法 。 除 之 , 为 实 。 又 三 因 末 广 , 以 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 为 都 廉 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 甲 袤 。 以 本 高 乘 之 , 以 本 袤 除 之 , 即 甲 高 。 又 以 广 差 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 末 广 , 即 甲 上 广 。 其 甲 上 广 即 乙 末 广 , 其 甲 高 即 垣 高 。 求 实 与 都 廉 , 如 前 。 又 并 甲 上 下 广 , 三 之 , 乘 甲 高 , 又 乘 袤 幂 , 以 法 除 之 , 得 垣 方 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 乙 袤 。 余 放 此 ( 此 龙 尾 犹 羡 除 也 。 其 堑 堵 一 , 鳖 腝 一 , 并 而 相 连 。 今 以 袤 再 乘 积 , 广 差 乘 高 而 一 , 所 得 截 鳖 腝 袤 再 自 乘 , 为 立 方 一 。 又 堑 堵 袤 自 乘 , 为 幂 一 。 又 三 因 末 广 , 以 袤 乘 之 , 广 差 而 一 , 与 幂 为 高 , 故 为 廉 法 ) 。假 令 穿 河 , 袤 一 里 二 百 七 十 六 步 , 下 广 六 步 一 尺 二 寸 ; 北 头 深 一 丈 八 尺 六 寸 , 上 广 十 二 步 二 尺 四 寸 ; 南 头 深 二 百 四 十 一 尺 八 寸 ; 上 广 八 十 六 步 四 尺 八 寸 。 运 土 于 河 西 岸 造 漘 , 北 头 高 二 百 二 十 三 尺 二 寸 , 南 头 无 高 , 下 广 四 百 六 尺 七 寸 五 厘 , 袤 与 河 同 。 甲 郡 二 万 二 千 三 百 二 十 人 , 乙 郡 六 万 八 千 七 十 六 人 , 丙 郡 五 万 九 千 九 百 八 十 五 人 , 丁 郡 三 万 七 千 九 百 四 十 四 人 。 自 穿 、 负 、 筑 , 各 人 程 功 常 积 三 尺 七 寸 二 分 。 限 九 十 六 日 役 , 河 漘 俱 了 。 四 郡 分 共 造 漘 , 其 河 自 北 头 先 给 甲 郡 , 以 次 与 乙 , 合 均 赋 积 尺 。 问 : 逐 郡 各 给 斜 、 正 袤 , 上 广 及 深 , 并 漘 上 广 各 多 少 ?答 曰 :漘 上 广 五 丈 八 尺 二 寸 一 分 ;甲 郡 正 袤 一 百 四 十 四 丈 ,斜 袤 一 百 四 十 四 丈 三 尺 ,上 广 二 十 六 丈 四 寸 ,深 一 十 一 丈 一 尺 六 寸 ;乙 郡 正 袤 一 百 一 十 五 丈 二 尺 ,斜 袤 一 百 一 十 五 丈 四 尺 四 寸 ,上 广 四 十 丈 九 尺 二 寸 ,深 一 十 八 丈 六 尺 ;丙 郡 正 袤 五 十 七 丈 六 尺 ,斜 袤 五 十 七 丈 七 尺 二 寸 ,上 广 四 十 八 丈 三 尺 六 寸 ,深 二 十 二 丈 三 尺 二 寸 ,丁 郡 正 袤 二 十 八 丈 八 尺 ,斜 袤 二 十 八 丈 八 尺 六 寸 ,上 广 五 十 二 丈 八 寸 ,深 二 十 四 丈 一 尺 八 寸 。术 曰 : 如 筑 堤 术 入 之 ( 覆 堤 为 河 , 彼 注 甚 明 , 高 深 稍 殊 , 程 功 是 同 , 意 可 知 也 ) 。 以 程 功 乘 甲 郡 人 , 又 以 限 日 乘 之 , 四 之 , 三 而 一 , 为 积 。 又 六 因 , 以 乘 袤 幂 。 以 上 广 差 乘 深 差 , 为 法 。 除 之 , 为 实 。 又 并 小 头 上 、 下 广 , 以 乘 小 头 深 , 三 之 , 为 垣 头 幂 。 又 乘 袤 幂 , 以 法 除 之 , 为 垣 方 。 三 因 小 头 上 广 , 以 乘 正 袤 , 以 广 差 除 之 , 为 都 廉 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 得 小 头 袤 , 为 甲 袤 。 求 深 、 广 , 以 本 袤 及 深 广 差 求 之 。 以 两 头 上 广 差 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 小 头 上 广 , 即 甲 上 广 。 以 小 头 深 减 南 头 深 , 余 以 乘 甲 袤 , 以 本 袤 除 之 , 所 得 加 小 头 深 , 即 甲 深 。 又 正 袤 自 乘 , 深 差 自 乘 , 并 , 而 开 方 除 之 , 即 斜 袤 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 每 以 前 大 深 、 广 为 后 小 深 、 广 , 准 甲 求 之 , 即 得 。求 漘 上 广 , 术 曰 : 以 程 功 乘 总 人 , 又 以 限 日 乘 之 , 为 积 。 六 因 之 , 为 实 。 以 正 袤 除 之 , 又 以 高 除 之 , 所 得 以 下 广 减 之 , 余 又 半 之 , 即 漘 上 广 。假 令 四 郡 输 粟 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 一 人 作 功 为 均 。 自 上 给 甲 , 以 次 与 乙 。 其 甲 郡 输 粟 三 万 八 千 七 百 四 十 五 石 六 斗 , 乙 郡 输 粟 三 万 四 千 九 百 五 石 六 斗 , 丙 郡 输 粟 , 二 万 六 千 二 百 七 十 石 四 斗 , 丁 郡 输 粟 一 万 四 千 七 十 八 石 四 斗 。 四 郡 共 穿 窖 , 上 袤 多 于 上 广 一 丈 , 少 于 下 袤 三 丈 , 多 于 深 六 丈 , 少 于 下 广 一 丈 。 各 计 粟 多 少 , 均 出 丁 夫 。 自 穿 、 负 、 筑 , 冬 程 人 功 常 积 一 十 二 尺 , 一 日 役 。 问 : 窖 上 下 广 、 袤 、 深 , 郡 别 出 人 及 窖 深 、 广 各 多 少 ?答 曰 :窖 上 广 八 丈 ,上 袤 九 丈 ,下 广 一 十 丈 ,下 袤 一 十 二 丈 ,深 三 丈 ;甲 郡 八 千 七 十 二 人 ,深 一 十 二 尺 ,下 袤 一 十 丈 二 尺 ,广 八 丈 八 尺 ;乙 郡 七 千 二 百 七 十 二 人 ,深 九 尺 ,下 袤 一 十 一 丈 一 尺 ,广 九 丈 四 尺 ;丙 郡 五 千 四 百 七 十 三 人 ,深 六 尺 , 下 袤 一 十 一 丈 七 尺 ,广 九 丈 八 尺 ;丁 郡 二 千 九 百 三 十 三 人 ,深 三 尺 ,下 袤 一 十 二 丈 ,广 一 十 丈 。求 窖 深 、 广 、 袤 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 总 粟 , 为 积 尺 。 又 广 差 乘 袤 差 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 乃 置 堑 上 广 , 半 广 差 加 之 , 以 乘 堑 上 袤 , 为 隅 头 幂 。 又 半 袤 差 , 乘 堑 上 广 , 以 隅 阳 幂 及 隅 头 幂 加 之 , 为 方 法 。 又 置 堑 上 袤 及 堑 上 广 , 并 之 , 为 大 广 。 又 并 广 差 及 袤 差 , 半 之 , 以 加 大 广 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 深 。 各 加 差 , 即 合 所 问 。求 均 给 积 尺 受 广 、 袤 、 深 , 术 曰 : 如 筑 台 术 入 之 。 以 斛 法 乘 甲 郡 输 粟 , 为 积 尺 。 又 三 因 , 以 深 幂 乘 之 , 以 广 差 乘 袤 差 而 一 , 为 实 。 深 乘 上 广 , 广 差 而 一 , 为 上 广 之 高 。 深 乘 上 袤 , 袤 差 而 一 , 为 上 袤 之 高 。 上 广 之 高 乘 上 袤 之 高 , 三 之 , 为 方 法 。 又 并 两 高 , 三 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 甲 深 。 以 袤 差 乘 之 , 以 本 深 除 之 , 所 加 上 袤 , 即 甲 下 袤 。 以 广 差 乘 之 , 本 深 除 之 , 所 得 加 上 广 , 即 甲 下 广 。 若 求 乙 、 丙 、 丁 , 每 以 前 下 广 、 袤 为 后 上 广 、 袤 , 以 次 皆 准 此 求 之 , 即 得 。 若 求 人 数 , 各 以 程 功 约 当 郡 积 尺 。假 令 亭 仓 上 小 下 大 , 上 下 方 差 六 尺 , 高 多 上 方 九 尺 , 容 粟 一 百 八 十 七 石 二 斗 。 今 已 运 出 五 十 石 四 斗 。 问 : 仓 上 下 方 、 高 及 余 粟 深 、 上 方 各 多 少 ?答 曰 :上 方 三 尺 ,下 方 九 尺 ,高 一 丈 二 尺 ;余 粟 深 、 上 方 俱 六 尺 。求 仓 方 、 高 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 容 粟 , 为 积 尺 。 又 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 乘 截 高 , 以 减 积 , 余 为 实 。 又 方 差 乘 截 高 , 加 隅 阳 幂 , 为 方 法 。 又 置 方 差 , 加 截 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 。求 余 粟 高 及 上 方 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 出 粟 , 三 之 , 以 乘 高 幂 , 令 方 差 幂 而 一 , 为 实 ( 此 是 大 、 小 高 各 自 乘 , 各 乘 取 高 。 是 大 高 者 , 即 是 取 高 与 小 高 并 ) 。 高 乘 上 方 , 方 差 而 一 , 为 小 高 。 令 自 乘 , 三 之 , 为 方 法 。 三 因 小 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 取 出 高 。 以 减 本 高 , 余 即 残 粟 高 。 置 出 粟 高 , 又 以 方 差 乘 之 , 以 本 高 除 之 , 所 得 加 上 方 , 即 余 粟 上 方 ( 此 本 术 曰 : 上 下 方 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 高 乘 之 , 三 而 一 。 今 还 元 , 三 之 , 又 高 幂 乘 之 , 差 幂 而 一 , 得 大 小 高 相 乘 , 又 各 自 乘 之 数 。 何 者 ? 若 高 乘 下 方 , 方 差 而 一 , 得 大 高 也 。 若 高 乘 上 方 , 方 差 而 一 , 得 小 高 也 。 然 则 斯 本 下 方 自 乘 , 故 须 高 自 乘 乘 之 , 差 自 乘 而 一 , 即 得 大 高 自 乘 之 数 。 小 高 亦 然 。 凡 大 高 者 , 即 是 取 高 与 小 高 并 相 连 。 今 大 高 自 乘 为 大 方 。 大 方 之 内 即 有 取 高 自 乘 幂 一 , 隅 头 小 高 自 乘 幂 一 。 又 其 两 边 各 有 以 取 高 乘 小 高 , 为 幂 二 。 又 大 小 高 相 乘 , 为 中 方 。 中 方 之 内 即 有 小 高 乘 取 高 幂 一 。 又 小 高 自 乘 , 即 是 小 方 之 幂 又 一 。 则 小 高 乘 大 高 , 又 各 自 乘 三 等 幂 , 皆 以 乘 取 高 为 立 积 。 故 三 因 小 幂 为 方 , 及 三 小 高 为 廉 也 ) 。假 令 刍 甍 上 袤 三 丈 , 下 袤 九 丈 , 广 六 丈 , 高 一 十 二 丈 。 有 甲 县 六 百 三 十 二 人 , 乙 县 二 百 四 十 三 人 。 夏 程 人 功 当 积 三 十 六 尺 , 限 八 日 役 。 自 穿 筑 , 二 县 共 造 。 今 甲 县 先 到 。 问 : 自 下 给 高 、 广 、 袤 、 各 多 少 ?答 曰 :高 四 丈 八 尺 ,上 广 三 丈 六 尺 ,袤 六 丈 六 尺 。求 甲 县 均 给 积 尺 受 广 、 袤 , 术 曰 : 以 程 功 乘 乙 县 人 数 , 又 以 限 日 乘 之 , 为 积 尺 。 以 六 因 之 , 又 高 幂 乘 之 , 又 袤 差 乘 广 而 一 , 所 得 又 半 之 , 为 实 。 高 乘 上 袤 , 袤 差 而 一 , 为 上 袤 之 高 。 三 因 上 袤 之 高 , 半 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 乙 高 。 以 减 甍 高 , 余 即 甲 高 。 求 广 、 袤 , 依 率 求 之 ( 此 乙 积 本 倍 下 袤 , 上 袤 从 之 。 以 下 广 及 高 乘 之 , 六 而 一 , 为 一 甍 积 。 今 还 元 须 六 因 之 , 以 高 幂 乘 之 , 为 实 。 袤 差 乘 广 而 一 , 得 取 高 自 乘 以 乘 三 上 袤 之 高 , 则 三 小 高 为 廉 法 , 各 以 取 高 为 方 。 仍 有 取 高 为 立 方 者 二 , 故 半 之 , 为 立 方 一 。 又 须 半 廉 法 ) 。假 令 圆 囤 上 小 下 大 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 以 率 径 一 周 三 。 上 下 周 差 一 丈 二 尺 , 高 多 上 周 一 丈 八 尺 , 容 粟 七 百 五 斛 六 斗 。 今 已 运 出 二 百 六 十 六 石 四 斗 。 问 : 残 粟 去 口 、 上 下 周 、 高 各 多 少 ?答 曰 :一 周 一 丈 八 尺 ,下 周 三 丈 ,高 三 丈 六 尺 ,去 口 一 丈 八 尺 ,粟 周 二 丈 四 尺 。求 圆 囤 上 下 周 及 高 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 容 粟 , 又 三 十 六 乘 之 , 三 而 一 , 为 方 亭 之 积 。 又 以 周 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 乘 截 高 , 以 减 亭 积 , 余 为 实 。 又 周 差 乘 截 高 , 加 隅 阳 幂 , 为 方 法 。 又 以 周 差 加 截 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 得 上 周 。 加 差 , 而 合 所 问 。求 粟 去 口 , 术 曰 : 以 斛 法 乘 出 斛 , 三 十 六 乘 之 , 以 乘 高 幂 , 如 周 差 幂 而 一 , 为 实 。 高 乘 上 周 , 周 差 而 一 , 为 小 高 。 令 自 乘 , 三 之 , 为 方 法 。 三 因 小 高 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 去 口 ( 三 十 六 乘 讫 , 即 是 截 方 亭 , 与 前 方 窖 不 别 ) 。 置 去 口 , 以 周 差 乘 之 , 以 本 高 除 之 , 所 得 加 上 周 , 即 粟 周 。假 令 有 粟 二 万 三 千 一 百 二 十 斛 七 斗 三 升 , 欲 作 方 仓 一 , 圆 窖 一 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 。 令 高 、 深 等 , 使 方 面 少 于 圆 径 九 寸 , 多 于 高 二 丈 九 尺 八 寸 , 率 径 七 , 周 二 十 二 。 问 : 方 、 径 、 深 多 少 ?答 曰 :仓 方 四 丈 五 尺 三 寸 ( 容 粟 一 万 二 千 七 百 二 十 二 斛 九 斗 五 升 八 合 ) ,窖 径 四 丈 六 尺 二 寸 ( 容 粟 一 万 三 百 九 十 七 石 七 斗 七 升 二 合 ) ,高 与 深 各 一 丈 五 尺 五 寸 。求 方 、 径 高 深 , 术 曰 : 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 数 , 二 十 五 而 一 , 为 实 。 又 倍 多 加 少 , 以 乘 少 数 , 又 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 倍 少 数 , 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 又 倍 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 高 、 深 。 各 加 差 , 即 方 径 ( 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 为 积 尺 。 前 一 十 四 馀 , 今 还 元 , 一 十 四 乘 。 为 径 自 乘 者 , 是 一 十 一 ; 方 自 乘 者 , 是 一 十 四 。 故 并 之 为 二 十 五 。 凡 此 方 、 圆 二 径 长 短 不 同 , 二 径 各 自 乘 为 方 , 大 小 各 别 。 然 则 此 堑 方 二 丈 九 尺 八 寸 , 堑 径 三 丈 七 寸 , 皆 成 方 面 。 此 应 堑 方 自 乘 , 一 十 四 乘 之 ; 堑 径 自 乘 , 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 为 隅 幂 , 即 方 法 也 。 但 二 隅 幂 皆 以 堑 数 为 方 面 。 今 此 术 就 省 , 倍 小 隅 方 , 加 差 为 矩 袤 , 以 差 乘 之 为 矩 幂 。 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 。 又 差 自 乘 之 数 , 即 是 方 圆 之 隅 同 有 此 数 , 若 二 十 五 乘 之 , 还 须 二 十 五 除 。 直 以 差 自 乘 加 之 , 故 不 复 乘 除 。 又 须 倍 二 廉 之 差 , 一 十 一 乘 之 , 二 十 五 而 一 , 倍 差 加 之 , 为 廉 法 , 不 复 二 十 五 乘 除 之 也 ) 。还 元 , 术 曰 : 仓 方 自 乘 , 以 高 乘 之 , 为 实 。 圆 径 自 乘 , 以 深 乘 之 , 一 十 一 乘 , 一 十 四 而 一 , 为 实 。 皆 为 斛 法 除 之 , 即 得 容 粟 ( 斛 法 二 尺 五 寸 ) 。假 令 有 粟 一 万 六 千 三 百 四 十 八 石 八 斗 , 欲 作 方 仓 四 、 圆 窖 三 , 令 高 、 深 等 , 方 面 少 于 圆 径 一 丈 , 多 于 高 五 尺 , 斛 法 二 尺 五 寸 , 率 径 七 , 周 二 十 二 。 问 : 方 、 高 、 径 多 少 ?答 曰 :方 一 丈 八 尺 ,高 深 一 丈 三 尺 ,圆 径 二 丈 八 尺 。术 曰 : 以 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 数 , 如 八 十 九 而 一 , 为 实 。 倍 多 加 少 , 以 乘 少 数 , 三 十 三 乘 之 , 八 十 九 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 倍 少 数 , 以 三 十 三 乘 之 , 八 十 九 而 一 , 倍 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 高 、 深 。 各 加 差 , 即 方 径 ( 一 十 四 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 为 径 自 乘 及 方 自 乘 数 与 前 同 。 今 方 仓 四 , 即 四 因 十 四 。 圆 窖 三 , 即 三 因 十 一 。 并 之 , 为 八 十 九 , 而 一 。 此 堑 径 一 丈 五 尺 , 堑 方 五 尺 , 以 高 为 立 方 。 自 外 意 同 前 ) 。假 令 有 粟 三 千 七 十 二 石 , 欲 作 方 仓 一 、 圆 窖 一 , 令 径 与 方 等 , 方 于 窖 深 二 尺 , 少 于 仓 高 三 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 : 方 、 径 、 高 、 深 各 多 少 ?答 曰 :方 、 径 各 一 丈 六 尺 ,高 一 丈 九 尺 ,深 一 丈 四 尺 。术 曰 : 三 十 五 乘 粟 , 二 十 五 而 一 , 为 率 。 多 自 乘 , 以 并 多 少 乘 之 , 以 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 所 得 以 减 率 , 余 为 实 。 并 多 少 , 以 乘 多 , 倍 之 , 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 多 自 乘 加 之 , 为 方 法 。 又 并 多 少 , 以 乘 一 十 四 , 如 二 十 五 而 一 , 加 多 加 之 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 窖 深 。 各 加 差 , 即 方 、 径 、 高 ( 截 高 五 尺 , 堑 径 及 方 二 尺 , 以 深 为 立 方 。 十 四 乘 斛 法 , 故 三 十 五 乘 粟 。 多 自 乘 并 多 少 乘 之 , 为 截 高 隅 积 , 即 二 廉 , 方 各 二 尺 , 长 五 尺 。 自 外 意 旨 皆 与 前 同 ) 。假 令 有 粟 五 千 一 百 四 十 石 , 欲 作 方 窖 、 圆 窖 各 一 , 令 口 小 底 大 , 方 面 于 圆 径 等 , 两 深 亦 同 , 其 深 少 于 下 方 七 尺 , 多 于 上 方 一 丈 四 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 : 方 、 径 、 深 各 多 少 ?答 曰 :上 方 、 径 各 七 尺 ,下 方 、 径 各 二 丈 八 尺 ,深 各 二 丈 一 尺 。术 曰 : 以 四 十 二 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 七 十 五 而 一 , 为 方 亭 积 。 令 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 , 以 截 多 乘 之 , 减 积 , 余 为 实 。 以 多 乘 差 , 加 幂 , 为 方 法 。 多 加 差 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 ( 凡 方 亭 , 上 下 方 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 乘 高 , 为 虚 。 命 三 而 一 , 为 方 亭 积 。 若 圆 亭 上 下 径 相 乘 , 又 各 自 乘 , 并 以 乘 高 , 为 虚 。 又 十 一 乘 之 , 四 十 二 而 一 , 为 圆 亭 积 。 今 方 、 圆 二 积 并 在 一 处 , 故 以 四 十 二 复 乘 之 , 即 得 圆 虚 十 一 , 方 虚 十 四 , 凡 二 十 五 , 而 一 , 得 一 虚 之 积 。 又 三 除 虚 积 , 为 方 亭 实 。 乃 依 方 亭 复 问 法 , 见 上 下 方 差 及 高 差 与 积 求 上 下 方 高 术 入 之 , 故 三 乘 , 二 十 五 而 一 ) 。假 令 有 粟 二 万 六 千 三 百 四 十 二 石 四 斗 , 欲 作 方 窖 六 、 圆 窖 四 , 令 口 小 底 大 , 方 面 与 圆 径 等 , 其 深 亦 同 , 令 深 少 於 下 方 七 尺 , 多 於 上 方 一 丈 四 尺 , 盛 各 满 中 而 粟 适 尽 ( 圆 率 、 斛 法 并 与 前 同 ) 。 问 上 下 方 、 深 数 各 多 少 ?答 曰 :方 窖 上 方 七 尺 ,下 方 二 丈 八 尺 ,深 二 丈 一 尺 ,圆 窖 上 下 径 、 深 与 方 窖 同 。术 曰 : 以 四 十 二 乘 斛 法 , 以 乘 粟 , 三 百 八 十 四 而 一 , 为 方 亭 积 尺 。 令 方 差 自 乘 , 三 而 一 , 为 隅 阳 幂 。 以 多 乘 之 , 以 减 积 , 余 为 实 。 以 多 乘 差 , 加 幂 , 为 方 法 。 又 以 多 加 差 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 上 方 。 加 差 , 即 合 所 问 ( 今 以 四 十 二 乘 。 圆 虚 十 一 者 四 , 方 虚 十 四 者 六 , 合 一 百 二 十 八 虚 , 除 之 , 为 一 虚 之 积 。 得 者 仍 三 而 一 , 为 方 亭 实 积 。 乃 依 方 亭 见 差 复 问 求 之 , 故 三 乘 , 一 百 二 十 八 除 之 ) 。假 令 有 句 股 相 乘 幂 七 百 六 十 五 分 之 一 , 弦 多 于 句 三 十 六 十 分 之 九 。 问 : 三 事 各 多 少 ?答 曰 :句 十 四 二 十 分 之 七 ,股 四 十 九 五 分 之 一 ,弦 五 十 一 四 分 之 一 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 多 数 而 一 , 为 实 。 半 多 数 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 句 。 以 弦 多 句 加 之 , 即 弦 。 以 句 除 幂 , 即 股 ( 句 股 相 乘 幂 自 乘 , 与 句 幂 乘 股 幂 积 等 。 故 以 倍 句 弦 差 而 一 , 得 一 句 与 半 差 之 共 乘 句 幂 , 为 方 。 故 半 差 为 廉 法 , 从 , 开 立 方 除 之 。 按 : 此 术 原 本 不 全 , 今 依 句 股 义 拟 补 十 三 字 ) 。假 令 有 句 股 相 乘 幂 四 千 三 十 六 五 分 之 □ , 股 少 于 弦 六 五 分 之 一 。 问 : 弦 多 少 ? ( 按 : 此 问 原 本 缺 二 字 , 今 依 文 补 一 股 字 , 其 股 字 上 之 □ 系 所 设 分 数 , 未 便 悬 拟 , 今 姑 阙 之 ) 。答 曰 : 弦 一 百 一 十 四 十 分 之 七 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 少 数 而 一 , 为 实 。 半 少 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 股 。 加 差 , 即 弦 。假 令 有 句 弦 相 乘 幂 一 千 三 百 三 十 七 二 十 分 之 一 , 弦 多 股 一 、 十 分 之 一 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 九 十 二 五 分 之 二 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 多 而 一 , 为 立 幂 。 又 多 再 自 乘 , 半 之 , 减 立 幂 , 余 为 实 。 又 多 数 自 乘 , 倍 之 , 为 方 法 。 又 置 多 数 , 五 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 股 ( 句 弦 相 乘 幂 自 乘 , 即 句 幂 乘 弦 幂 之 积 。 故 以 倍 股 弦 差 而 一 , 得 一 股 与 半 差 □ □ □ □ □ 为 方 令 多 再 自 乘 半 之 为 隅 □ □ □ □ □ 横 虚 二 立 廉 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 倍 之 为 从 隅 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 多 为 上 广 即 二 多 □ □ □ □ □ □ □ □ □ 法 故 五 之 二 而 一 ) 。案 : 此 术 脱 简 既 多 , 法 亦 烦 扰 , 宜 云 幂 自 乘 , 多 数 而 一 , 所 得 四 之 , 为 实 。 多 为 廉 法 , 从 。 立 方 开 之 , 得 减 差 , 半 之 , 即 股 ( 幂 自 乘 , 与 勾 幂 弦 幂 相 乘 积 等 。 令 勾 幂 变 为 股 弦 并 乘 股 弦 差 , 故 差 而 一 , 所 得 乃 股 弦 并 乘 弦 幂 ) 。假 令 有 股 弦 相 乘 幂 四 千 七 百 三 十 九 五 分 之 三 , 句 少 于 弦 五 十 四 五 分 之 二 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 六 十 八 。术 曰 : 幂 自 乘 , 倍 少 数 而 一 , 为 立 幂 。 又 少 数 再 自 乘 , 半 之 , 以 减 立 幂 , 余 为 实 。 又 少 数 自 乘 , 倍 之 , 为 方 法 。 又 置 少 数 , 五 之 , 二 而 一 , 为 廉 法 , 从 。 开 立 方 除 之 , 即 句 。 加 差 , 即 弦 。 弦 除 幂 , 即 股 。假 令 有 股 弦 相 乘 幂 七 百 二 十 六 , 句 七 、 十 分 之 七 。 问 : 股 多 少 ?答 曰 : 股 二 十 六 五 分 之 二 。术 曰 : 幂 自 乘 , 为 实 。 句 自 乘 , 为 方 法 , 从 。 开 方 除 之 , 所 得 又 开 方 , 即 股 ( □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 数 亦 是 股 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 为 长 以 股 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 得 股 幂 又 开 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 股 北 分 母 常 … … )假 令 有 股 十 六 二 分 之 一 , 句 弦 相 乘 幂 一 百 六 十 四 二 十 五 分 之 十 四 。 问 : 句 多 少 ?答 曰 : 句 八 、 五 分 之 四 。术 曰 : 幂 自 乘 , 为 实 。 股 自 乘 , 为 方 法 , 从 。 开 方 除 之 , 所 得 又 开 方 , 即 句 。lol赛后季竞猜

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